Neredeyse hepimiz eğitim hayatımızın bir bölümünde istesek de istemesek de “fonksiyonlar” ile karşılaşmışızdır. (veya karşılaşacağız) Genellikle fonksiyonun tanımı ve onun kurulumu hızlıca geçilir ve direkt aşina olduğumuz “y = f(x)” notasyonu ile örnek problemlere başlanır.
Burada fonksiyonların tanımının altında yatan soyut temelleri irdeleyecek ve birazda işin prensip ve hikayeleştirmesinden bahsedeceğiz.
Bütün matematiksel nesneler temel olarak küme kuramına dayanır. Fonksiyonların kurulumunu da anlamak için kümeler kavramını anlamalıyız. Kümeler belli özelliklere sahip matematiksel nesneler topluluğudur. Mesela bir odanın içerisindeki eşyalar: Bu eşyalar o odanın içerisine aittir. Veya Türkçe diline ait harfler de örnek verilebilir. O dile ait harfleri ifade eden bir nesneler topluluğudur. Burada bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin bir “elamanı(öğesi)” denir. Türkçe dili örneğimize bakarsak, “t” harfi Türkçe dili kümemizin bir elemanı iken, “w” harfi Türkçe dili kümemizin bir elemanı değildir. Herhangi bir küme söz konusu olunca, bir nesne, ya kesinlikle bu kümenin bir elemanıdır, ya da kesinlikle bu kümenin elemanı değildir; bu konuda asla bir belirsizlik yoktur. Eğer daha da yakından bakacak olursak; İngilizce dili kümesi oluşturalım ve bu kümenin elemanları o dilin harflerinden oluşsun. Türkçe dili kümemizin birçok elemanı aynı zamanda İngilizce dilinin de elemanıdır. Bu gibi akıl yürütmeler bizi kümelerin özelliklerini(kurallarını) belirlememize imkan verir. (Lakin burada çok detaylı bir şekilde kümeler veya benzeri kavramların üzerinde durmayacağız)
Tüm bu sözlerimizin yanında matematik ile ilgilenen kişilerin hatırı sayılır bir çoğunluğu, özellikle 18.yy dan sonra matematiğin notasyonu ile yani sembolleştirilmesiyle de ilgilenmiştir. Bu semboller ifade ettiğimiz sözcüklerin yerini alırlar. Mesela her defasında “t, Türkçe dili kümesinin bir elemanıdır” demek yerine “t∈T” şeklinde ifade ederiz. Açık bir şekilde “∈“ sembolü “elemanıdır” demek manasına gelir. “T” büyük harfi de Türkçe dili kümesini temsil eder.
Kümeler ve sahip oldukları elemanlar liste biçiminde bir notasyonla veya Venn şeması şeklinde ki bir çizim ile de gösterilebilirler.
Bununla beraber bir A kümesi ve B kümesi olsun. Eğer A’nın her elemanı B’nin de bir elemanı ise A, B’nin bir altkümesi denir ve “A⊂B” şeklinde gösterilir. Yani B, A’yı kapsar.
Bu noktada temel bir küme kavramına giriş yaptıktan sonra, fonksiyon kurulumunun önemli bir basamağı olan ve kümeler üzerinde tanımlanan kartezyen çarpımı kavramına sıçrayabiliriz.
#Tanım – Kartezyen çarpım: “A ve B boş olmayan iki küme ise, a∈ A ve b∈ B olmak üzere (a,b) sıralı ikililerinden oluşan kümeye A ve B nin kartezyen çarpımı denir. A ve B nin kartezyen çarpımı A × B ile gösterilir.”
Örnek olarak: A={1, 2}, B={5, 6, 7} ise A × B sıralı ikilileri, A × B = {(1, 5), (1, 6), (1, 7), (2, 5), (2, 6), (2,7)} olur.
Açıkça bu gibi özellikler kümeler üzerinde tanımladığımız yapılardır. Tanımımızı belli bir notasyon ile de göstermiş olduk. Böylece A’nın her bir elemanı B’nin her bir elemanıyla sırasıyla ikili şekilde sıralanıyor. Matematik bu gibi soyut tanımları tanımlayıp onlar üzerinde belirlediğimiz kurallara göre işlem yapmamıza izin veriyor. Mesela keyfi olarak kümeler üzerinde başka bir şey de tanımlayabiliriz. Bu bizim koyacağımız kurallarımıza göre işlesin:
#Örnek – Keyfi tanımımız: “A, B ve C boş olmayan üç küme ise, a∈ A, b∈ B ve c∈ C olmak üzere (a,b,c) sıralı üçlülerden oluşan kümeye A, B ve C nin üçlüsü denir. A, B ve C nin üçlüsü *(A,B,C) ile gösterilir.”
Keyfi tanımımıza örnek olarak: A={1, 2}, B={5, 6}, C={8,9} ise *(A,B,C) sıralı üçlüleri, *(A,B,C) = {(1, 5, 8), (1, 6, 9), (2, 5, 8), (2, 6, 9)} olur.
Burada kendi kurallarımıza göre bir tanım versek de çok dikkatli olmamız gereklidir. Her şey her zaman bu kadar keyfi ilerlemez. Yapacağımız her şey matematiksel mantık kurallarına uymak zorunda, daha önceden belirlenmiş kümeler postülatlarına, önceki teoremlerle çelişmemesine vb. özen gösterilmelidir. Aksi halde hatalı bir işleme yol açarız. Ve çöker!
Kümelerde sıralı ikilileri tanımlayıp ifade ettikten sonra bu sıralı ikililerin birbiri arasında ki ilişkiyi daha yakından inceleyebiliriz. Biliyoruz ki, iki nesnenin, sahip oldukları bir özellik nedeniyle bir arada düşünülmesine “bağıntı” denir. Kabaca bu iki nesne arasında ilişkiyi inceler. Mesela “15 sayısı 3 ün bir katıdır.” 15 sayısı ile 3 arasında bir bağıntı olduğunu ifade eder. Veya “Tekirdağ’ın trafik kodu 59 dur.” Tekirdağ ile 59 arasında bir bağıntı olduğunu ifade eder. Tabi ki bu bağıntı yapılarını da belirli bir sembolle göstermemiz daha doğru olacaktır. Bu sembol “…f…” olsun. O halde yukarıda ki örnekleri güncelleyelim: “15 f 3” ve “Tekirdağ f 59” Bu ifadeler “15 ile 3, f bağıntısı ile bağlıdır” şeklinde okunur. Birbiri arasında bağıntıyı simgeler. Ama yine de bağıntının net bir tanımını vermemiz gerekecektir.
#Tanım – Bağıntı: “A ve B iki küme olsun. A × B nin her altkümesine A dan B ye bir bağıntı denir.” Burada tanım çok açık, sıralı ikililerden oluşan kümeler birer bağıntıdır. Yani sıralı ikililer arasında bir ilişki kuruyoruz.
Bir örnek vermek gerekirse,
A={1, 2, 3} ve B={c, d} için f = {(1, c), (1, d), (3, d)} A’dan B’ye bir bağıntıdır. Çünkü A × B nin bir altkümesidir. (Hatırlayınız tüm elemanlarını barındırmak zorunda değil) O halde diyebiliriz ki bu f bağıntısına göre 2fc bir f bağıntısı değildir. (yani, 2 ile c arasında bir ilişki yoktur) Açık şekilde “(2, c)” sıralı ikilisi f bağıntısında bulunmuyor.
Bu noktada bağıntının içerisinde bazı özel durumlar oluşacaktır ki bu özel durumlar özel bir isimlendirmeyi hak edecek kadar önemli olacaktır. Üstte f = {(1, c), (1, d), (3, d)} bağıntısını ifade ettik. Bu bağıntıda “1” elemanı “c” elemanı ile ilişkilendirilmiş daha sonra “1” elemanı “d” elemanı ile de ilişkilendirilmiştir. Peki, A kümesinin elemanı olan her bir değeri yalnız bir elemanla eşleşen bir bağıntı tanımlasak? Yani üstte ki örneğimiz de A={1, 2, 3} ve B={c, d} için, bunların kartezyen çarpımından oluşan kümenin bir altkümesi olan yeni bir bağıntı tanımlasak ama A kümesinde ki elemanlar yalnız bir B kümesinde ki elemanlar ile eşleşsin. f = {(1, c), (2, c), (3, d)} şeklinde yeni bir bağıntı tanımladık. Bu bağıntıda “1” elemanı yalnız bir B de ki elemanla eşleşti. A kümesinde ki “2 ve 3” elemanları da öyle yalnız bir eleman ile eşleştiler. Burada “1 ve 2” elemanlarının her ikisi de “c” elemanı ile eşleşmesi kafanızı karıştırmasın. (ki fonksiyonların içerisinde bunların adlandırılması vardır) İşte bu kavram özel bir isimlendirmeyi hak eden “fonksiyon” kavramıdır.
#Tanım – Fonksiyon: “A ve B iki küme ve f, A dan B ye bir bağıntı, yani f ⊂A × B olsun. Eğer her a∈ A için (a,b)∈ f olacak şekilde bir ve yalnız bir b∈ B varsa, bu takdirde, f bağıntısına A dan B ye bir fonksiyon (ya da dönüşüm) denir. Burada, A ya f nin tanım bölgesi, B ye de değerler bölgesi denir.”
Bu hemen üstte gösterdiğimiz özel bir durumun tanımlanmış ifadesidir. f bağıntısında ki her ‘a’ için bu bağıntıda bir ve yalnız bir ‘b’ değeri ile ilişkilendiriliyorsa bu fonksiyon ya da dönüşüm olarak adlandırılacak kadar özeldir. Tanımımızı daha da kolaylaştırırsak:
“Bundan böyle ‘f, A dan B ye bir fonksiyondur’ ifadesini kısaltarak ‘f: A → B’ biçiminde göstereceğiz. O halde f: A → B bir fonksiyon ve x∈ A olsun. B içinde (x,y)∈ f olacak biçimde bir ve yalnız bir y elemanı vardır. Bu y elemanına x in f altında ki görüntüsü veya f nin x deki değeri denir. x in f altında ki görüntüsü f(x) ile gösterilir.”
Bu sayede fonksiyonu genel bir notasyon ile göstermiş oluruz. Bu üstte yaptığımız sıralı ikilerden farklı bir şey değildir. Bakınız,
A={1, 2, 3} ve B={4, 5, 6} kümeleri için f = {(1, 4), (2, 5), (3, 5)} bağıntısı A’dan B’ye bir fonksiyondur. Böylece yeni notasyonla, f(1)=4 ve f(2)=5 ve f(3)=5 dir. Her A’nın elemanı bir ve yalnız bir B elemanıyla eşleşmiştir.
Ama yine aynı kümeler için g = {(1, 4), (2, 5), (1, 5)} bağıntısı A’dan B’ye bir fonksiyon değildir. Çünkü A da bulunan “1” elamanı B kümesinde, hem 4 ile hem de 5 ile eşleşmiştir. Evet bu bir bağıntıdır ama bir fonksiyon değildir. Fonksiyonlar üstte tanımladığımız gibi bağıntıların özel bir durumudur. Bu noktada fonksiyonu daha basitleştirilmiş ve kısa bir şekilde ifade edecek olursak,
#Tanım – Fonksiyon: “Eğer X kümesindeki her bir x elemanına Y’de tam olarak bir tek y elemanı karşılık geliyorsa bu ilişkilendirmeye X kümesinden Y kümesine bir fonksiyon denir.”
Buraya kadar hızlandırılmış bir şekilde fonksiyonların soyut temelini oluşturduk. Bu noktada ilginç şeyler oldu. Matematikçiler, fonksiyonun değer ve tanım kümelerini Kartezyen koordinat sistemi başta olmak üzere, koordinat sistemine aktarmayı denedi.
Böylece her sıralı ikili bu 2 boyutlu uzayda bir nokta olarak gösterilebilecekti. Üstte ki soyut sayılar bir anda görsellik kazandı. Artık bir fonksiyonun eğrisini elde ettikten sonra bu eğri üzerinde tonlarca analiz yapılabilir hale geldi. En yüksek noktalar, en düşük noktalar, belirli bir bölgede ki artış, azalış, eğim(türev), fonksiyonun altında kalan alan, fonksiyonun oluşturduğu eğriyi döndürdüğümüzde oluşan 3boyutlu şekiller, çok değişkenli fonksiyonlar… Bütün hepsi üzerinde çalışılmayı bekleyen gözde konular oluverdi.
Evet odamızın içinde ki eşyaları sadece soyut bir nesne olan “küme”nin içine aktarmıştık. Yaptığımız şey sadece buydu. Kim diyebilirdi ki; soyut bir kümenin içerisinden doğada devasa uygulamaları olan bir yapı çıksın? Sanırım kümeler matematik ile uğraşanların sihir torbası, içerisinden ne çıkacağı belli olmuyor…
Referanslar
[1] Matematiğin temelleri: Sayı sistemleri ve cebirsel yapılar, Prof.Dr. Halil İbrahim Karakaş, 3.basım [2] Dennis G. Zill and Warren S. Wright, Calculus Early Transcendentals | Matematik Cilt1, 4.basım
Görsel referans
Comments