Bu kesimde, bir eğriyi temsil etmenin farklı bir yolunu göstereceğiz. Genellikle eğrileri Kartezyen koordinat sisteminde denklemler şeklinde ifade ederiz. Örneğin Kartezyen koordinat sisteminde “x kare” parabolünün denklemini şu şekilde ifade eder ve grafiğini çizebiliriz:
Bu bizim en çok haşina olduğumuz yoldur ve y = f(x) şeklinde ifade ederiz. Şimdi parametrik denklemleri anlamak için koordinat sistemimizde bir noktayı tanımlamakla başlayalım;
Görsel-2 ”P” noktasının tanımlanması, 2 boyutlu uzay
Görsel-2 den gözüktüğü üzere 2 boyutlu bir uzayda koordinat sistemimizde herhangi bir noktayı P(x,y); x ve y sıralı ikilisi cinsinden tanımlarız. P Noktasının konumu değiştikçe x ve y sıralı ikilisinin de aldığı değerler değişir. İşte bu kısımda, x ve y sıralı ikilisinin değerlerini ifade eden bir fonksiyon oluşturma yolunu izleyebiliriz. Yani x = f(t), y = g(t) cinsinden fonksiyonlar olsun ve P noktasının x ve y sıralı ikilisini bunlara göre tekrardan yazarsak, P( f(t), g(t) ) olur. Bu yaklaşımımızı daha düzgün bir tanım altında toplarsak:
[Tanım]: “f ve g, ortak bir K aralığında tanımlanmış sürekli fonksiyonlar olmak üzere, x=f(t) ve y=g(t) denklemlerine parametrik denklemler ve t’ye, parametre adı verilir. t’yi K aralığında değiştirerek elde edilen (f(t), g(t)) noktalarının kümesi C ise bu kümeye bir düzlem eğrisi denir.”
Tanımımızı biraz daha açalım ve örneklendirelim.
Görüldüğü üzere “t” nin aralığı [-1,2] dir. Böylece bu aralıkta tanımlı olan t’nin değerlerini x ve y için yerine yazarsak üstte ki tabloyu ve altta ki grafiği elde ederiz.
Görsel-3 “örneğin grafiği”
Görsel-3’de C eğrisinin grafiğinde ki oklar dikkatinizi çekmiş olabilir. Eğer t’nin artan değerlerine göre işaretleyecek olursak, Görsel-3’de ki gibi bir doğrultu elde ederiz. Bu doğrultuyu C eğrisinin “yönü” olarak da tanımlayabiliriz. Aynı zamanda “A ve B” olarak verebileceğimiz noktaları, A(Başlangıç) ve B(Bitim) yolu olarak ifade edebiliriz. Yani “t” parametresinin tanımlı olduğu kapalı [a,b] aralığı olduğunda (f(a), g(a)) noktası C eğrisinin başlangıç noktası, (f(b), g(b)) ise bitim noktasıdır.
Parametrik denklemlerin temel prensibi işte budur. Matematiğin en güzel tarafı, birkaç tanım ve birkaç aksiyom ile devasa bir araştırma alanı kurulabilir, bunun üzerine yoğunlaşarak bir sürü yeni tanım, teorem ve matematiksel yapılar kazandırılabilir. Mesela bir eğri ifade ettiğini vurguladık. Bu eğrileri de kendi içinde sınıflandırabiliriz. O halde Görsel-4’de ki eğrilere bir göz gezdiriniz.
Görsel-4 “eğriler”
Açık ki Görsel-4’den de anlaşılacağı üzere kapalı eğriler; (f(a), g(a)) = (f(b), g(b)) olduğunda kapalı eğri olarak adlandırılır. Bu noktada eğri sınıflarına daha da girmeden birkaç faydalı örnek üzerinden devam etmenin daha yararlı olacağının kanaatindeyim. Mesela bir çemberi Kartezyen koordinat sisteminde ifade ettiğimizden farklı bir şekilde, yani parametrik denklemlerle ifade edelim.
Görsel-5’de ki çember üzerinden devam edersek, “theta (θ)” parametresi üzerinden, yani açının değişmesiyle, P(x,y) noktalarının çember üzerinde değişeceği fikrini kullanarak bir parametrik denklem tanımlayabiliriz. Ve bu tanımladığımız denklem çemberi ifade edecek olan bir denklem olacaktır. Açık ki “x” konumu r cosθ ile değişirken, “y” konumu r sinθ ile değişmektedir. “Theta” ise 0 dereceyle 360 derece arasında değişir. O halde,
Olarak ifade edilir. Böylece bir çemberin ifadesini bu şekilde de tanımlayabiliriz. Bu ifade, fizikte eğik atış konusunu hatırlatabilir. Eğik atış da bir parametrik denklem olarak ifade edilebilirki 17.yy da Galileo Galilei eğik atış hareketlerinin izlediği yörüngenin, sürtünmesiz bir ortamda parabol yörünge izleyeceğini göstermiştir.
Lakin 17.yy da matematikçileri çok uğraştıran bir başka konu daha vardı: Sikloid eğriler. R yarıçaplı bir çemberin yuvarlanmasıyla ve üstünde ki bir P noktasının izinin çizdiği eğriye Sikloid eğrisi denir. (Görsel-7’e bakınız)
Görsel-7 “sikloid eğri” , gif adesini buradan al: https://thumbs.gfycat.com/CourageousEmotionalCobra-size_restricted.gif
Ayrıca 17.yy da bu iki problem üzerine yoğun olarak durulmuştur:
1- İki ucu sabit A ve B noktalarına bağlanmış, esnek(sürtünmesiz) bir tel olsun ve bu telin şekli nasıl olmalıdır ki bu tel üstünden bırakılan boncuklar, nereden bırakılırsa bırakılsın aynı sürede B noktasına varsın(Tautochrone, bakınız Görsel-8)?
2- Telin şekli nasıl olmalıdır ki, boncuk en kısa sürede B noktasına varsın(Brachistochrone, bakınız Görsel-9)?
Görsel-8 “Tautochrone”, gif adresini buradan al: https://i0.wp.com/www.hypatiabilim.org/wp-content/uploads/2021/03/1_x9Q67iF21MdGCgSwhwplGw.gif?resize=300%2C200&ssl=1
Görsel-9 “Brachistochrone”
Bunlar parametrik denklemlerin birer uygulamasıdır. İlginç ki bu iki problemin cevabının ters dönmüş yarım sikloid eğrisi olduğu gösterilmiştir.
Açık ki bir eğriyi sadece 2 boyutta parametrik denklemlere göstermeyiz, 3 boyutta da parametrik denklemlerle bir C “uzay eğrisini” gösterebiliriz. 2 boyutta başlamamızın en önemli sebebi kolaylık olması ve fikrin temelidir. Bu fikri daha sonra 3 boyuta genelleştiririz. 3 boyutta bir noktayı P(x,y,z) olarak tanımladığımızdan elimizde üç tane fonksiyon ile bir uzay eğrisini (f(t), g(t), h(t)) sıralı üçlülerin bir kümesi olarak tanımlayabiliriz. (Aşağıdaki görselleri inceleyiniz)
Son olarak sizleri güçlü bir bilgisayar dili Python ile tanıştırmak isterim. Özellikle, matematik ve fen bilimleri öğrencileri, analiz ve hesaplama programlarına ilgi duyması ve onları kullanmasını önemsiyorum. Altta ki örnek de, Python diliyle yazılmış birkaç basit kod yardımıyla parametrik denklemleri görselleştireceğiz.
Öncelikle kullanışlı bir matematiksel kütüphane olan SymPy kütüphanesini kurmamız gerekir. Buda “pip install sympy” (Windows için) ile kütüphanenin kurulması yeterlidir.
Kelebek eğrisinin parametrik denklemi aşağıdaki gibidir:
import sympy from sympy import * from sympy.plotting import plot_parametric
u, v = symbols( “u v”)
x = sin(u)*(exp(cos(u))-2*cos(4*u)+sin(1/12*u)**5) y = cos(u)*(exp(cos(u))-2*cos(4*u)+sin(1/12*u)**5)
plt=plot_parametric((x,y,(u, 0, 20*pi)),show=False) plt.show()
Bu kod parçasında, import kısımları kullanacağımız kütüphanelerin çağırılmasıdır. u,v şeklinde sembolleri tanımladık(ama v’yi kullanmadık) ve x,y olarak bir parametrik denklem elde ettik. Ardından bunu plot_parametric () ile “u” parametresi 0 ila 20π arasında değişeceğini belirttik ve daha sonra bunu .show() ile görüntüledik. (Çıktı altta)
Kodun çıktısı
Bu şekilde birçok parametrik denklemi çizdirebiliriz. SymPy kütüphanesi tek çizimler için değildir. Tüm matematiksel işlemleri yapabileceğiniz bir ortamdır. Kütüphaneyi daha fazla incelemek için referanslara bakınız.
Referanslar:
1- Calculus Early Transcendentals, Fourth edition, Dennis G.Zill and Warren S.Wright
2- Python Language, SymPy library; https://docs.sympy.org/latest/modules/plotting.html
3- Görsel-9 “Brachistochrone”, gif adresini buradan al: https://j.gifs.com/8qABGW.gif
Comments